Question

已知数列{a_n}中，a₁＝2，n∈N^*，a_n＞0，数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n＋1＝.

(1) 求{S_n}的通项公式；

(2) 设{b_k}是{S_n}中的按从小到大顺序组成的整数数列．

① 求b₃；

② 存在N(N∈N^*)，当n≤N时，使得在{S_n}中，数列{b_k}有且只有20项，求N的范围．

Answer 1

解：(1) a_n＋1＝S_n＋1－S_n，

∴ (S_n＋1－S_n)(S_n＋1＋S_n－2)＝2；

即(S_n＋1)²－(S_n)²－2(S_n＋1－S_n)＝2，

∴ (S_n＋1－1)²－(S_n－1)²＝2，且(S₁－1)²＝1，

∴ {(S_n－1)²}是首项为1，公差为2的等差数列，

∴ S_n＝1＋.

(2) ① n＝1时，S₁＝1＋1＝2＝b₁，n＝5时，S₅＝1＋3＝4＝b₂，n＝13时，S₁₃＝1＋5＝6＝b₃.

② ∵ 2n－1是奇数，S_n＝1＋为有理数，则＝2k－1，

∴ n＝2k²－2k＋1，

当k＝20时，n＝761；当k＝21时，n＝841；

∴ 存在N∈[761，840]，当n≤N时，使得在{S_n}中，数列{b_k}有且只有20项．