Question

已知直线l与函数y=x²的图象交于A，B两点，且线段AB与函数y=x²的图象围成的图形面积为

4

3

，则线段AB的中点P的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出直线l的方程和A，B，P的坐标，联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数关系得到A，B横坐标的和与积，再利用积分求面积得到(x2-x1)2=4．然后结合中点坐标公式及点A，B在抛物线上求得线段AB的中点P的轨迹方程．

解答： 解：设直线l：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
则x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

  ①
联立

y=kx+m y=x2

，得：x²-kx-m=0．
则△=k²+4m＞0，且x₁+x₂=k，x₁x₂=-m  ②
不妨设x₁＜x₂，
由题意得：

∫

x2 x1

(kx+m-x2)dx=

4

3

，
即(x2-x1)[

k

2

(x1+x2)+m-

x12+x1x2+x22

3

]=

4

3

  ③
将②代入③化简得：(x2-x1)3=8，即(x2-x1)2=4．
∴(x1+x2)2-4x1x2=4  ④
又∵y1=x12，y2=x22，
∴y=

y1+y2

2

=

x12+x22

2

=

4+2x1x2

2

=2+x1x2，
故x₁x₂=y-2，
而x₁+x₂=2x，代入④得y=x²+1．
故答案为：y=x²+1．

点评：本题考查轨迹方程，解答的关键在于灵活运用线段AB与抛物线所围成图形的面积，考查了定积分，体现了整体运算思想方法，考查学生的灵活变形和计算能力，是压轴题．