Question

已知共焦点F₁，F₂的椭圆与双曲线，它们的一个公共点是P，若

F1P

•

F2P

=0，椭圆的离心率e₁与双曲线的离心率e₂的关系式为（　　）

• A、

  1

  e12

  +

  1

  e22

  =2
• B、

  1

  e12

  -

  1

  e22

  =2
• C、e₁²+e₂²=2
• D、e₂²-e₁²=2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆与双曲线的方程分别为：

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1，

x2

a 2 2

-

y2

b 2 2

=1．设|PF₁|=m，|PF₂|=n．利用椭圆和双曲线的定义可得：m+n=2a₁，m-n=2a₂．两边平方可得4

a

2 1

+4

a

2 2

=（m+n）²+（m-n）²=2（m²+n²），由

F1P

•

F2P

=0，可得F₁P⊥F₂P．再利用勾股定理可得m²+n²=（2c）²=4c²，再利用离心率计算公式即可得出．

解答： 解：如图所示，
设椭圆与双曲线的方程分别为：

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1，

x2

a 2 2

-

y2

b 2 2

=1．
其中a₁＞b₁＞0，a₂＞0，b₂＞0，

a

2 1

-

b

2 1

=c2=

a

2 2

+

b

2 2

．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n．
则m+n=2a₁，m-n=2a₂．
∴4

a

2 1

+4

a

2 2

=（m+n）²+（m-n）²=2（m²+n²），
∵

F1P

•

F2P

=0，∴F₁P⊥F₂P．
∴m²+n²=（2c）²=4c²，
∴4

a

2 1

+4

a

2 2

=2×4c2，
∴

a

2 1

+

a

2 2

=2c2．
∴

1

c2 a 2 1

+

1

c2 a 2 2

=

1

e 2 1

+

1

e 2 2

=2．
故选：A．

点评：本题考查了椭圆与双曲线的定义、标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．