Question

已知f（x）=x²，-1≤x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n≤1，a_n=|f（x_n）-f（x_n-1）|，n∈N^*，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，则S_n的最大值等于

 

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Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据二次函数的单调性，讨论x_k的值，去掉绝对值，即可得到结论．

解答： 解：设x_k=0，
则当-1≤x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_k，此时函数f（x）单调递减，此时a_n=|f（x_n）-f（x_n-1）|=-f（x_n）+f（x_n-1），
则a₁+a₂+a₃+…+axk=f（x₀）-f（x_k）≤1，
当x_k＜x_k+1＜x_k+2＜…＜x_n≤1此时函数f（x）单调递增，此时a_n=|f（x_n）-f（x_n-1）|=f（x_n）-f（x_n-1），
则a_k+a_k+1+…+a_n=f（x_n）-f（x_k）≤1，
则S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n≤1+1=2，
故S_n的最大值等于2，
故答案为：2

点评：本题主要考查数列的前n项和的计算，根据二次函数的图象和性质是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．