Question

若数列{a_n}满足点（

1

an

，

1

an+1

）（n∈N^*）在函数f（x）=x+2n的图象上，且a₁=4．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）求证：

4

3

≤

a1a2

+

a2a3

+…+

anan+1

＜2．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意得

1

an+1

-

1

an

=2n，利用累加法求得通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

anan+1

=

4

(2n-1)(2n+1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂项法求和，放缩即得结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得

1

an+1

=

1

an

+2n，
∴

1

an+1

-

1

an

=2n，

1

an

-

1

an-1

=2（n-1），…

1

a3

-

1

a2

=2×2，

1

a2

-

1

a1

=2×1，
∴累加得

1

an

-

1

a1

=n²-n，即

1

an

=

1

a1

+n²-n，又a₁=4，
∴a_n=

4

(2n-1)2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

anan+1

=

4

(2n-1)(2n+1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴

a1a2

+

a2a3

+…+

anan+1

=2（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=2（1-

1

2n+1

）=

4n

2n+1

＜

4n

2n

=2
又

4n

2n+1

≥

4n

2n+n

=

4

3

，
∴

4

3

≤

a1a2

+

a2a3

+…+

anan+1

＜2．

点评：本题主要考查数列通项公式的求法累加法及数列求和的裂项法，考查学生的运算能力，属中档题．