Question

己知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，侧面A₁ACC₁为菱形，∠A₁AC=60°，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，M、N是AB，CC₁的中点．
（I）求证：CM∥平面A₁BN．
（Ⅱ）求证：A₁C⊥BN．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取A₁B的中点P，连接PM，PN．根据M，P分别是AB，A₁B的中点，推断u PM∥AA₁，PM=

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AA1，根据 AA₁∥CC₁，推断出 PM∥CN且PM=CN可知四边形PMCN为平行四边形，推断出PN∥CM．最后利用线面平行的判定定理推断出CM∥平面A₁BN． 
（Ⅱ）取AC的中点O，连结BO，ON．根据已知BO⊥AC，进而根据平面A₁ACC₁⊥平面ABC，推断出BO⊥平面A₁ACC₁．由于 A₁C?平面A₁ACC₁利用线面垂直性质知BO⊥A₁C，利用四边形A₁ACC₁为菱形，推断 A₁C⊥AC₁，又因为 ON∥AC₁，推断出A₁C⊥ON进而推断出A₁C⊥平面BON，又BN?平面BON，最后根据线面垂直的判定定理推断出A₁C⊥BN．

解答： 证明：（Ⅰ）取A₁B的中点P，连接PM，PN．因为 M，P分别是AB，A₁B的中点，
∴PM∥AA₁，PM=

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2

AA1，

又∵AA₁∥CC₁，
∴PM∥CN且PM=CN
∴四边形PMCN为平行四边形，
∴PN∥CM．
又∵CM?平面A₁BN，PN?平面A₁BN，
∴CM∥平面A₁BN． 
（Ⅱ）取AC的中点O，连结BO，ON．
由题意知 BO⊥AC，
又∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∴BO⊥平面A₁ACC₁．         
∵A₁C?平面A₁ACC₁
∴所以BO⊥A₁C
∴四边形A₁ACC₁为菱形，
∴A₁C⊥AC₁
又∵ON∥AC₁，所以 A₁C⊥ON
∴A₁C⊥平面BON，又 BN?平面BON
∴A₁C⊥BN．

点评：本题主要考查了线面平行的判定定理，线面垂直的性质及判定．要求学生对基础定理和性质熟练掌握．