Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2.当n≥2时，Sn－1＋1，an，Sn＋1成等差数列．

(1)求证：{Sn＋1}是等比数列；

(2)求数列{nan}的前n项和Tn.

 

Answer 1

（1）见解析

（2）Tn＝

【解析】【解析】
(1)证明：∵Sn－1＋1，an，Sn＋1成等差数列，

∴2an＝Sn＋Sn－1＋2(n≥2)．

∴2(Sn－Sn－1)＝Sn＋Sn－1＋2，即Sn＝3Sn－1＋2，

∴Sn＋1＝3(Sn－1＋1)(n≥2)．

∴{Sn＋1}是首项为S1＋1＝3，公比为3的等比数列．

(2)由(1)可知Sn＋1＝3n，∴Sn＝3n－1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2×3n－1.

又a1＝2，∴an＝2×3n－1(n∈N*)．nan＝2n·3n－1

∴Tn＝2＋4×3＋6×32＋…＋2(n－1)×3n－2＋2n×3n－1，①

3Tn＝2×3＋4×32＋6×33＋…＋2(n－1)×3n－1＋2n×3n，②

由①－②得，

－2Tn＝2＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－2n×3n＝－2n×3n＝3n－1－2n×3n，

∴Tn＝.