Question

【题目】已知函数．

（1）若曲线在处的切线经过坐标原点，求及该切线的方程；

（2）设，若函数的值域为，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）， （2）

【解析】试题分析：（1）先求出（），根据斜率相等可得，所以，从而利用点斜式可得切线方程；（2）利用导数研究函数与的单调性，分别求得与，使函数的值域为，初步判断，①当时，只须，②当时，只须对一切恒成立，分别求出的取值范围，然后求并集即可的结果.

试题解析：（1）由已知得（），

则，所以，

所以所求切线方程为．

（2）令，得；令，得．　

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以.

而在上单调递增，所以.

欲使函数的值域为，须.

①当时，只须，即，所以.

②当时， ， ，

只须对一切恒成立，即对一切恒成立，

令 ，得，

所以在上为增函数，

所以，所以对一切恒成立.

综上所述： .