Question

14．若函数f（x）=x³+mx²-4mx+1在区间（-1，2）上有两个极值点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，0）
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （0，$\frac{1}{2}$）
• D． （-∞，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 可求导数得到f′（x）=3x²+2mx-4m，根据题意便有f′（x）=0在（-1，2）上有两个不等实数根，从而可得到$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{-1＜-\frac{2m}{2•3}＜2}\\{f′（-1）＞0}\\{f′（2）＞0}\end{array}\right.$，这样解关于m的不等式组便可得出实数m的取值范围．

解答 解：f（x）在区间（-1，2）上有两个极值点；
∴f′（x）=3x²+2mx-4m=0在（-1，2）上有两个实数根；
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}+48m＞0}\\{-1＜-\frac{2m}{2•3}＜2}\\{f′（-1）=3-2m-4m＞0}\\{f′（2）=12+4m-4m＞0}\end{array}\right.$；
解得$0＜m＜\frac{1}{2}$；
∴实数m的取值范围是$（0，\frac{1}{2}）$．
故选C．

点评 考查基本初等函数导数的求法，函数极值点的定义及求法，函数在极值点处导数的取值情况，以及一元二次方程实根情况和判别式△的关系．