Question

1．在正方体ABCD-A′B′C′D′，E为A′D′的中点，则异面直线EC与BC′所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{6}$，二面角A′-BC′-D的平面角的正切值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EC与BC′所成角的余弦值和二面角A′-BC′-D的平面角的正切值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DC为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为2，
E（1，0，2），C（0，2，0），B（2，2，0），C′（0，2，2），
$\overrightarrow{EC}$=（-1，2，-2），$\overrightarrow{B{C}^{'}}$=（-2，0，2），
设异面直线EC与BC′所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{B{C}^{'}}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{B{C}^{'}}|}{|\overrightarrow{EC}|•|\overrightarrow{B{C}^{'}}|}$=$\frac{2}{3\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∴异面直线EC与BC′所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
D（0，0，0），A′（2，0，2），$\overrightarrow{B{A}^{'}}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{B{C}^{'}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{BD}$=（-2，-2，0），
设平面BDC′的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-2a-2b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}^{'}}=-2a+2c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
设平面A′BC′的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{A}^{'}}=-2y+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{C}^{'}}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
设二面角A′-BC′-D的平面角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，sinα=$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$2\sqrt{2}$．
∴二面角A′-BC′-D的平面角的正切值为2$\sqrt{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{6}$，2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．