Question

11．如图，在圆O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别为M，N．
（1）证明：O，M，E，N四点共圆；
（2）若AB=CD，证明：EO⊥BD．

Answer 1

分析 （1）由题意可得OM⊥AB，ON⊥CD，可得∠OME+∠ONE=180°，从而得到O，M，E，N四点共圆．
（2）利用条件求得BE=DE，设BD的中点为O₁，则EO₁⊥BD，OO₁⊥BD，证得E，O₁，O三点共线，可得EO⊥BD．

解答 解：（1）∵M为AB的中点，∴OM⊥AB；∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，
在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=180°，∴O，M，E，N四点共圆．
（2）因为AB=CD，所以$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，所以$\widehat{BC}=\widehat{AD}$，∴∠ABD=∠BDC，所以BE=DE，
连接OB，OD，设BD的中点为O₁，则EO₁⊥BD，OO₁⊥BD，
所以E，O₁，O三点共线，所以EO⊥BD．

点评 本题主要考查与圆有关的比例线段，四点共圆的条件，等腰三角形的性质，属于中档题．