Question

18．求解关于x的不等式：3x²-ax-a＞0．

Answer 1

分析 对△=a²+12a与0的大小关系分类讨论，利用一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解集与△的关系即可得出．

解答 解：①△=a²+12a=0，解得a=0或-12．
a=0时，不等式化为：3x²＞0，解得x≠0，解集为{x|x∈R，x≠0}．
a=-12时，不等式化为：3x²+12x+12＞0，即（x+2）²＞0，
解得x≠-2，解集为{x|x∈R，x≠-2}．
②由△＜0，解得-12＜a＜0，则3x²-ax-a＞0的解集为R．
③由△＞0，解得a＜-12，或0＜a，由3x²-ax-a=0，
解得x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+12a}}{6}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+12a}}{6}$，
则3x²-ax-a＞0的解集为{x|x＜x₁或x＞x₂}．
综上可得：①a=0时，不等式的解集为{x|x∈R，x≠0}．
a=-12时，不等式的解集为{x|x∈R，x≠-2}．
②-12＜a＜0，不等式的解集为R．
③a＜-12，或0＜a，不等式解集为{x|x＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+12a}}{6}$，或x＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+12a}}{6}$}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．