Question

16．如图所示，在一住宅小区里有一块半径为10m的半圆形空地（O为圆心），现准备在这块空地上种植一块矩形草坪，矩形的一边落在半圆的直径上，问角θ为多少度时，矩形草坪面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析 如图用圆的半径R与图中所示的角（可设出）表示出来，把此矩形的面积表示出来，再用三角函数的相关的公式化简，最后用三角函数的有界性判断最大值在什么情况下取到，求出矩形的最大面积以及矩形的长与宽的大小．

解答 解：由题意矩形的另两个顶点在半圆轴上时，矩形面积才能取得最大值．
设矩形在半圆板直径上的一边长为2x，θ角如图所示，
则x=10cosθ，另一边的长为10sinθ，矩形面积S为
S=200sinθcosθ．
=100sin2θ
当2θ=90°即α=45°时，也即长为20cos45°=10$\sqrt{2}$，
宽为10sin45°=5$\sqrt{2}$时，矩形面积最大
最大面积是100．
角θ为45度时，矩形草坪面积最大，最大面积为100m²．

点评 本题考查用三角函数解决实际问题的最值，这是三角函数的一个重要的运用，请仔细体会本题中函数关系的建立过程．