Question

【题目】已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，长轴长为4，且点 在椭圆 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是椭圆 长轴上的一个动点，过 作斜率为 的直线 交椭圆 于 、 两点，求证： 为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为 的焦点在 轴上且长轴长为4，
故可设椭圆 的方程为
因为点 在椭圆 上，所以
解得 .
所以，椭圆 的方程为
（2）证明：设 ，由已知，直线 的方程是 ，
由 消去 得，
设 ，则 是方程 的两个根，
所以有， ，因为 |PA|2+|PB|2=(x1-m)2+y12+(x2-m)2+y22
所以， 为定值
【解析】（1）根据椭圆的性质可知a=4，c2=a2-b2 ， 再将 ( 1 ， ) 代入椭圆求解即可。
（2）设出直线l的方程，联立椭圆，根据韦达定理可以得到x1和x2的关系，再代入 |PA|2+|PB|2中即可得证。
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．