Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n满足4S_n=a

2 n

+2a_n．
（1）求a₁的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）求证：

4

a 2 1

+

4

a 2 2

+…+

4

a 2 n

＜2，n∈N^Φ．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）4S_n=a

2 n

+2a_n．令n=1，可得4a1=

a

2 1

+2a₁，解出即可．
（2）当n≥2时，4a_n=4S_n-4S_n-1，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，可得a_n-a_n-1=2，利用等差数列的通项公式即可得出．
（3）当n=1时，

4

a 2 1

=1＜2成立．当n≥2时，

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

．利用“裂项求和”即可得出．

解答： （1）解：∵4S_n=a

2 n

+2a_n．令n=1，可得4a1=

a

2 1

+2a₁，a₁＞0，解得a₁=2．
（2）解：当n≥2时，4a_n=4S_n-4S_n-1=

a

2 n

+2an-(

a

2 n-1

+2an-1)，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（3）证明：当n=1时，

4

a 2 1

=1＜2成立．
当n≥2时，

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

．
∴

4

a 2 1

+

4

a 2 2

+…+

4

a 2 n

=

1

1

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

＜2．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．