Question

11．函数f（x）=lnx-（k+1）x（k≥-1）．
（1）若f（x）无零点，求k的取整数时的最小值；
（2）若存在x∈[2e，3e]使得f（x）＞0，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出k的只需整数值；
（2）通过讨论k的范围，根据函数的单调性确定k的具体范围即可．

解答 解：（1）k=-1时，f（x）=lnx有1个零点，
k＞-1时，f′（x）=$\frac{1-（k+1）x}{x}$，
故x∈（0，$\frac{1}{k+1}$）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
x∈（$\frac{1}{k+1}$，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
∵f（x）无零点，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{k+1}$）=ln$\frac{1}{k+1}$-1＜0，解得：k＞$\frac{1}{e}$-1，
故k取整数时的最小值是0；
（2）k=-1时，f（x）=lnx，x∈[2e，3e]使得f（x）＞0恒成立，符合题意，
k＞-1时，由（1）得k≥$\frac{1}{e}$-1时，f（x）≤0，
只需讨论-1＜k＜$\frac{1}{e}$-1时是否存在x∈[2e，3e]使得f（x）＞0，
此时x=$\frac{1}{k+1}$∈（e，+∞），
由（1）得：e＜$\frac{1}{k+1}$＜2e即$\frac{1}{2e}$-1＜k＜$\frac{1}{e}$-1时，
只需f（2e）=ln2e-（k+1）2e＞0，
即k＜$\frac{ln（2e）}{2e}$-1＜$\frac{1}{e}$-1，
∴$\frac{1}{2e}$-1＜k＜$\frac{ln（2e）}{2e}$-1时存在x∈[2e，3e]使得f（x）＞0，
当2e≤$\frac{1}{k+1}$≤3e即$\frac{1}{3e}$-1≤k≤$\frac{1}{2e}$-1时，
由（1）得：f（x）_max=f（$\frac{1}{k+1}$）=ln$\frac{1}{k+1}$-1＞0，
∴$\frac{1}{3e}$-1≤k≤$\frac{1}{2e}$-1时，存在x∈[2e，3e]使得f（x）＞0，
当$\frac{1}{k+1}$＞3e即-1＜k＜$\frac{1}{3e}$-1时，只需f（3e）=ln3e-（k+1）3e＞0，
即k＜$\frac{ln（3e）}{3e}$-1，
∴-1＜k＜$\frac{1}{3e}$-1时存在x∈[2e，3e]使得f（x）＞0，
综上，k∈[-1，$\frac{ln（2e）}{2e}$-1）时，存在x∈[2e，3e]，使得f（x）＞0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想以及学生的解题能力，是一道综合题．