Question

4．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$（x∈R）
（1）分别计算f（2）+f（$\frac{1}{2}$），f（3）+f（$\frac{1}{3}$），f（4）+f（$\frac{1}{4}$）的值；
（2）由（1）你发现了什么结论？并加以证明．

Answer 1

分析 （1）利用函数的解析式真假求解函数值即可．
（2）利用（1）可知f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1．然后证明即可．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$（x∈R），
f（2）+f（$\frac{1}{2}$）
=$\frac{4}{1+4}$+$\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}$
=$\frac{4}{5}+\frac{1}{5}$
=1，
f（3）+f（$\frac{1}{3}$）
=$\frac{9}{1+9}$+$\frac{\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}}$
=$\frac{9}{10}$$+\frac{1}{10}$
=1，
f（4）+f（$\frac{1}{4}$）
=$\frac{16}{1+16}$+$\frac{\frac{1}{16}}{1+\frac{1}{16}}$
=$\frac{16}{17}$+$\frac{1}{17}$
=1．
（2）由（1）可知f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1．
证明：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$
=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{1+{x}^{2}}$
=1．

点评 本题考查函数的值的求法，函数与方程的应用，考查计算能力．