Question

19．若不等式x²-log_ax＜0对x∈（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． 0＜a＜1
• B． $\frac{1}{16}$≤a＜1
• C． a＞1
• D． 0＜a≤$\frac{1}{16}$

Answer 1

分析 两个函数的恒成立问题转化为最值问题，此题x²-log_ax＜0对x∈（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，转化成求y=x²在x∈（0，$\frac{1}{2}$）的值域与log_ax在x∈（0，$\frac{1}{2}$）的值域问题．对数函数另一方面要注意分类对底数a讨论．即可求解．

解答 解：由题意x²-log_ax＜0
则x²＜log_ax
x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，x²∈（0，$\frac{1}{4}$）
当a＞1时，log_ax∈（-∞，$lo{g}_{a}\frac{1}{2}$），$lo{g}_{a}\frac{1}{2}＜lo{g}_{a}1=0$．
所以：x²-log_ax＜0对x∈（0，$\frac{1}{2}$）恒不成立．
当0＜a＜1时，log_ax∈（$lo{g}_{a}\frac{1}{2}$，+∞），
要使x²-log_ax＜0对x∈（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，则：$lo{g}_{a}\frac{1}{2}≥\frac{1}{4}$．
解得：a$≥\frac{1}{16}$
实数a的取值范围为：[$\frac{1}{16}$，1）
故选B

点评 本题考查了函数在其定义域内值域的问题，两个函数的恒成立问题转化为最值问题．对数函数另一方面要注意分类对底数a讨论．属于中档题．