Question

9．已知函数f（x）=e^x（mx³-x-2）．
（Ⅰ）若f（x）在区间（2，3）上不是单调函数，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$+2≤x恒成立，求整数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，结合题意确定m的范围即可；
（Ⅱ）问题等价于（x-2）e^x-mx³+x+2≥0，由题意知当x∈[0，+∞），不等式（x-2）e^x-mx³+x+2≥0恒成立．令h（x）=（x-2）e^x-mx³+x+2，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=（mx³+3mx²-x-3），
①当m≤0时，若x∈（2，3），则f'（x）＜0，
所以函数f（x）在（2，3）上单调递减，不满足题意；
②当m＞0时，由f'（x）=0，得x=-3或$x=\sqrt{\frac{1}{m}}$或$x=-\sqrt{\frac{1}{m}}$，
易知f（x）在$（0，\sqrt{\frac{1}{m}}）$上单调递减，在$（\sqrt{\frac{1}{m}}，+∞）$上单调递增．
因为f（x）在区间（2，3）上不是单调函数，
所以$2＜\sqrt{\frac{1}{m}}＜3$，解得$\frac{1}{9}＜m＜\frac{1}{4}$．
综上所述，实数m的取值范围是$（\frac{1}{9}，\frac{1}{4}）$．
（Ⅱ）不等式$\frac{f（x）}{{{e^{2x}}}}+2≤x$等价于$\frac{{m{x^3}-x-2}}{{{e^{2x}}}}+2≤x$，
等价于（x-2）e^x-mx³+x+2≥0，
由题意知当x∈[0，+∞），不等式（x-2）e^x-mx³+x+2≥0恒成立．
令h（x）=（x-2）e^x-mx³+x+2，
则h'（x）=（x-1）e^x-3mx²+1，
令ϕ（x）=h'（x）=（x-1）e^x-3mx²+1，
由ϕ（0）=h'（0）=0，且ϕ'（x）=x（e^x-6m）．
①当6m≤1，即$m≤\frac{1}{6}$时，由x≥0，知e^x≥1，
则ϕ'（x）=x（e^x-6m）≥0，
所以函数ϕ（x）即h'（x）在[0，+∞）上单调递增．
又由ϕ（0）=h'（0）=0，
故当x∈[0，+∞）时，h'（x）≥h'（0）=0，
所以h（x）在[0，+∞）上单调递增．
又因为h（0）=0，所以h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，满足题意；
②当6m＞1，即$m＞\frac{1}{6}$时，
若x∈（0，ln（6m）），则ϕ'（x）=x（e^x-6m）＜0，
函数ϕ（x）即h'（x）单调递减，
又由ϕ（0）=h'（0）=0，
所以当x∈（0，ln（6m））时，h'（x）＜h'（0）=0，
所以h（x）在（0，ln（6m））上单调递减．
又因为h（0）=0，所以x∈（0，ln（6m））时，h（x）＜0，
这与题意h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立相矛盾，故舍去．
综上所述，$m≤\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．