Question

在平面直角坐标系xOy中，若双曲线：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与直线l：

x

c

-

y

b

=1（其中c为双曲线的半焦距）分别交于A、B两点，已知线段AB中点的横坐标为-c，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、

  5

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的渐近线方程，再由直线l联立，解得交点A，B，再结合线段AB中点横坐标为-c，即可求出双曲线的离心率．

解答： 解：双曲线：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为y=±

b

a

x，
联立

y= b a x x c - y b =1

解得A（

ac

a-c

，

bc

a-c

），
联立

y=- b a x x c - y b =1

解得B（

ac

a+c

，-

bc

a+c

），
可得AB的中点的横坐标为

1

2

（

ac

a-c

+

ac

a+c

）=

a2c

a2-c2

，
由线段AB中点的横坐标为-c，则有

a2c

a2-c2

=-c，
即为c²=2a²，即c=

2

a，
e=

c

a

=

2

．
故选A．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和直线l的方程联立，求交点，考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，比较基础．