Question

过原点O的直线MN与双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1交于M、N两点，P是双曲线C上异于M、N的点，若直线PM，PN的斜率之积k_PM•k_PN=

5

4

，则双曲线C的离心率e=（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  9

  4

• C、

  5

  4

• D、2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设M（m，n），N（-m，-n），P（x，y），运用直线的斜率公式以及点在双曲线则满足双曲线方程，两式相减，即可得到a，b的关系式，再由离心率公式计算即可得到．

解答： 解：设M（m，n），N（-m，-n），P（x，y），
则k_PM=

y-n

x-m

，k_PN=

y+n

x+m

，
则有k_PM•k_PN=

y2-n2

x2-m2

=

5

4

，
由于

m2

a2

-

n2

b2

=1，

x2

a2

-

y2

b2

=1．
两式相减可得

x2-m2

a2

=

y2-n2

b2

，
即有

y2-n2

x2-m2

=

b2

a2

=

5

4

，
则e²=

c2

a2

=

a2+b2

a2

=1+

5

4

=

9

4

，
则e=

3

2

．
故选A．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线的斜率公式的运用，考查点差法的运用，考查离心率的求法，属于中档题．