Question

已知曲线C的方程为：ax²＋ay²－2a²x－4y＝0(a≠0，a为常数)．

(1)判断曲线C的形状；

(2)设曲线C分别与x轴，y轴交于点A，B(A，B不同于原点O)，试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；

(3)设直线l：y＝－2x＋4与曲线C交于不同的两点M，N，且|OM|＝|ON|，求曲线C的方程．

 

Answer 1

解　(1)将曲线C的方程化为x²＋y²－2ax－y＝0⇒(x－a)²＋²＝a²＋，可知曲线C是以点为圆心，以 为半径的圆．

(2)△AOB的面积S为定值．

证明如下：

在曲线C的方程中令y＝0，得ax(x－2a)＝0，得点A(2a,0)，

在曲线C方程中令x＝0，得y(ay－4)＝0，得点

∴S＝|OA|·|OB|＝·|2a|·＝4(定值)．

(3)∵圆C过坐标原点，且|OM|＝|ON|，

∴OC⊥MN，∴＝，∴a＝±2.

当a＝－2时，圆心坐标为(－2，－1)，圆的半径为，

圆心到直线l：y＝－2x＋4的距离

直线l与圆C相离，不合题意舍去，

∴a＝2时符合题意．

这时曲线C的方程为x²＋y²－4x－2y＝0.