Question

10．已知函数f（x）=9^x-2a•3^x+3：
（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；
（2）当x∈[-1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；
（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m²，n²]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设t=3^x，则φ（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；
（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜$\frac{1}{3}$时，当$\frac{1}{3}$≤a≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；
（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=9^x-2a•3^x+3，
设t=3^x，t∈[1，3]，
则φ（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，对称轴为t=a．
当a=1时，φ（t）=（t-1）²+2在[1，3]递增，
∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，
∴函数f（x）的值域是：[2，6]；
（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，
当x∈[-1，1]时，t∈[$\frac{1}{3}$，3]，
当a＜$\frac{1}{3}$时，y_min=h（a）=φ（$\frac{1}{3}$）=$\frac{28}{9}$-$\frac{2a}{3}$；
当$\frac{1}{3}$≤a≤3时，y_min=h（a）=φ（a）=3-a²；
当a＞3时，y_min=h（a）=φ（3）=12-6a．
故h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{28}{9}-\frac{2a}{3}，a＜\frac{1}{3}}\\{3-{a}^{2}，\frac{1}{3}≤a≤3}\\{12-6a，a＞3}\end{array}\right.$；
（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12-6a，
∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．
又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m²，n²]，
则$\left\{\begin{array}{l}{12-6m={n}^{2}}\\{12-6n={m}^{2}}\end{array}\right.$，
两式相减得6（n-m）=（n-m）•（m+n），
又∵n＞m＞3，∴m-n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．
∴满足题意的m，n不存在．

点评 本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．