已知函数.
(1)若,当时,求的取值范围;
(2)若定义在上奇函数满足,且当时,,求在上的反函数;
(3)对于(2)中的,若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
(1);(2);(3).
解析试题分析:(1)这实质上是解不等式,即,但是要注意对数的真数要为正,,;(2)上奇函数满足,可很快求出,要求在上的反函数,必须求出在上的解析式,根据的定义,在上也应该是一个分段函数,故我们必须分别求出表达式,然后分别求出其反函数的表达式;(3)根据已知可知是周期为4的周期函数,不等式在上恒成立,求参数的取值范围问题,一般要研究函数的的单调性,利用单调性,可直接去掉函数符号,由已知,我们可得出在上是增函数,在上是减函数,又,而可无限趋近于,因此时,题中不等式恒成立,就等价于,现在我们只要求出的范围,而要求的范围,只要按的正负分类即可.
试题解析:(1)原不等式可化为 1分
所以,, 1分
得 2分
(2)因为是奇函数,所以,得 1分
①当时,
1分
此时,,所以 1分
②当时,, 1分
此时,,所以 1分
综上,在上的反函数为 1分
(3)由题意,当时,,在上是增函数,
当,,在上也是增函数,
所以在上是增函数, 2分
设,则
由,得
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,
(1)若曲线与在公共点处有相同的切线,求实数、的值;
(2)当时,若曲线与在公共点处有相同的切线,求证:点唯一;
(3)若,,且曲线与总存在公切线,求正实数的最小值
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明,声音强度(分贝)由公式(为非零常数)给出,其中为声音能量.
(1)当声音强度满足时,求对应的声音能量满足的等量关系式;
(2)当人们低声说话,声音能量为时,声音强度为30分贝;当人们正常说话,声音能量为时,声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音,一般人在100分贝~120分贝的空间内,一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时,人会暂时性失聪.
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“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康,某企业在政府部门的支持下,进行技术攻关,新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为:
且每处理一吨“食品残渣”,可得到能利用的生物柴油价值为200元,若该项目不获利,政府将补贴.
(1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损;
(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
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对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.
(1) 判断函数是否为“()型函数”,并说明理由;
(2) 若函数是“()型函数”,求出满足条件的一组实数对;
(3)已知函数是“()型函数”,对应的实数对为(1,4).当 时,,若当时,都有,试求的取值范围.
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对定义在上,并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。
①对任意的,总有;
②当时,总有成立。
已知函数与是定义在上的函数。
(1)试问函数是否为函数?并说明理由;
(2)若函数是函数,求实数的值;
(3)在(2)的条件下,讨论方程解的个数情况。
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某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本为,当年产量不足80千件时,(万元).当年产量不小于80千件时,(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(Ⅰ)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;
(Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
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