已知函数,
(1)若曲线与在公共点处有相同的切线,求实数、的值;
(2)当时,若曲线与在公共点处有相同的切线,求证:点唯一;
(3)若,,且曲线与总存在公切线,求正实数的最小值
(1);(2)详见解析;(3)正实数的最小值为1
解析试题分析:(1)求实数、的值,因为曲线与在公共点处有相同的切线,由导数的几何意义可得,,解出即可;(2)当时,若曲线与在公共点处有相同的切线,求证:点唯一,可设,由题设得,,转化为关于的方程只有一解,进而构造函数,转化为函数只有一个零点,可利用导数即可证明;(3)设曲线在点处的切线方程为,则只需使该切线相切即可,也即方程组只有一解即可,所以消后,问题转化关于的方程总有解,分情况借助导数进行讨论即可求得值最小值
试题解析:(1), ∵曲线与在公共点处有相同的切线∴ , 解得, 3分
(2)设,则由题设有 ①又在点有共同的切线
∴代入①得 5分
设,则,
∴在上单调递增,所以 =0最多只有个实根,
从而,结合(1)可知,满足题设的点只能是 7分
(3)当,时,,,
曲线在点处的切线方程为,即
由,得
∵ 曲线与总存在公切线,∴ 关于的方程,
即 总有解 9分
若,则,而,显然不成立,所以 10分
从而,方程可化为
令,则
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).
(1)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2;
(2)若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某镇政府为了更好地服务于农民,派调查组到某村考察.据了解,该村有100户农民,且都从事蔬菜种植,平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构,该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工.据估计,若能动员x(x>0)户农民从事蔬菜加工,则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高2x%,而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入将为3 (a>0)万元.
(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后,要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的总年收入,求x的取值范围;
(2)在(1)的条件下,要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入,求a的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
现有A,B两个投资项目,投资两项目所获得利润分别是和(万元),它们与投入资金(万元)的关系依次是:其中与平方根成正比,且当为4(万元)时为1(万元),又与成正比,当为4(万元)时也是1(万元);某人甲有3万元资金投资.
(1)分别求出,与的函数关系式;
(2)请帮甲设计一个合理的投资方案,使其获利最大,并求出最大利润是多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某投资公司计划投资A,B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18-,B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2=(注:利润与投资金额单位:万元).
(1)该公司已有100万元资金,并全部投入A,B两种产品中,其中x万元资金投入A产品,试把A,B两种产品利润总和表示为x的函数,并写出定义域;
(2)在(1)的条件下,试问:怎样分配这100万元资金,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村,该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按30天计算)每天的旅游人数与第x天近似地满足(千人),且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足(元).
(1)求该村的第x天的旅游收入(单位千元,1≤x≤30,)的函数关系;
(2)若以最低日收入的20%作为每一天的计量依据,并以纯收入的5%的税率收回投资成本,试问该村在两年内能否收回全部投资成本?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数.
(1)若,当时,求的取值范围;
(2)若定义在上奇函数满足,且当时,,求在上的反函数;
(3)对于(2)中的,若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
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