Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，以为直径作圆，当直线的斜率为1时，.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过焦点作的垂线与圆的一个交点为，交抛物线于，（点在点，之间），记的面积为，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求得直线的方程，联立抛物线方程，解得的坐标，由两点的距离公式可得，进而得到所求抛物线方程；

（2）求得，设，，，，，，，，且，由向量垂直的坐标表示可得，由三角形的勾股定理和三角形的面积公式可得，设，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得，再由两直线垂直的条件，以及构造函数法，求得导数和单调性，计算可得所求最小值．

（1）当直线的斜率为1时，

可得直线的方程为，联立抛物线方程，

解得，即，，即，

抛物线的方程为；

（2）由（1）可得，

设，，，，且，

由题意可得，即，

又，即，

整理可得，

又，

则，即，

又的斜率存在且不为0，，联立抛物线方程可得，

可得，，则

，

由，可得，即，可得，

则，

可令，，

显然在递增，且，

当时，，时，，

可得在递减，在递增，

可得时，取得最小值23．

即求的最小值为23．