Question

19．在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y-3=0被圆x²+y²-4x+2y+1=0截得的弦长为$\frac{2\sqrt{55}}{5}$．

Answer 1

分析 化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长．

解答 解：化圆x²+y²-4x+2y+1=0为（x-2）²+（y+1）²=4，
则圆心坐标为（2，-1），半径为2．
圆心到直线x+2y-3=0的距离为d=$\frac{|1×2+2×（-1）-3|}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
由垂径定理可得，直线x+2y-3=0被圆x²+y²-4x+2y+1=0截得的弦长为2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{3\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{55}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{55}}{5}$．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题．