【题目】如图,在正四棱锥P﹣ABCD中,AB=2,PA= ,E是棱PC的中点,过AE作平面分别与棱PB、PD交于M、N两点.
(1)若PM= PB,PN=λPD,求λ的值;
(2)求直线PA与平面AMEN所成角的正弦值的取值范围.
【答案】
(1)解:连接AC、BD交于点O,以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,﹣ ,0),B (
,0,0),C(0,
,0),D(﹣
,0,0),P(0,0,2),E(0,
,1)
,
,
,
,
.
,
∵AN,AE,AM共面,∴
(2)解:根据正四棱锥P﹣ABCD的对称性可知,当PM=PN时,P到面AMEN的距离最大,此时直线PA与平面AMEN所角最大,
,P到面AMEN的距离最小,此时直线PA与平面AMEN所角最小.
①由(Ⅰ)知当PM=PN时,λ= ,
,
设面AMEN的法向量为 ,
由 ,
取
设直线PA与平面AMEN所成角为θ,sinθ=|cos< >|=
,
②当M在B时,因为AB∥面PDC,所以过AB,AE的面与面PDC的交线NE∥AB
设 是面ABEN的法向量,
由 ,可取
sinθ=|cos< >|=
.
直线PA与平面AMEN所成角的正弦值的取值范围为[ ,
]
【解析】(1)连接AC、BD交于点O,以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,﹣ ,0),B (
,0,0),C(0,
,0),D(﹣
,0,0),P(0,0,2),E(0,
,1)由AN,AE,AM共面,
.(2)根据正四棱锥P﹣ABCD的对称性可知,当PM=PN时,P到面AMEN的距离最大,此时直线PA与平面AMEN所角最大,P到面AMEN的距离最小,此时直线PA与平面AMEN所角最小.利用向量分别求出求解直线PA与平面AMEN所成角的正弦值.
【考点精析】本题主要考查了空间角的异面直线所成的角的相关知识点,需要掌握已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
才能正确解答此题.
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【题目】某幼儿园为训练孩子的数字运算能力,在一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的卡片各两张,让孩子从盒子里任取3张卡片,按卡片上的最大数字的9倍计分,每张卡片被取出的可能性都相等,用X表示取出的3张卡片上的最大数字
(1)求取出的3张卡片上的数字互不相同的概率;
(2)求随机变量X的分布列及数学期望;
(3)若孩子取出的卡片的计分超过30分,就得到奖励,求孩子得到奖励的概率.
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【题目】已知函数f(x)=|x+2a|+|x﹣1|,a∈R.
(1)当a=1时,解不等式f(x)≤5;
(2)若f(x)≥2对于x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】如图所示,有两个独立的转盘()、(
).两个图中三个扇形区域的圆心角分别为
、
、
.用这两个转盘进行玩游戏,规则是:依次随机转动两个转盘再随机停下(指针固定不会动,当指针恰好落在分界线时,则这次结果无效,重新开始),记转盘(
)指针所对的数为
,转盘(
)指针所对的数为
,(
、
),求下列概率:
(1);
(2).
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【题目】将函数的图象向右平移
个单位长度,所得图像对应的函数( )
A. 在区间上单调递减 B. 在区间
上单调递增
C. 在区间上单调递减 D. 在区间
上单调递增
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【题目】△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量 =(a,
b)与
=(cosA,sinB)平行.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若a= ,b=2,求△ABC的面积.
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【题目】已知函数的图象与
轴的交点中相邻两个交点的距离是
,当
时
取得最小值
.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数在区间
的最大值和最小值;
(3)若函数的零点为
,求
.
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【题目】如图,在直角梯形中,
,
为线段
(含端点)上一个动点,设
对于函数
,给出以下三个结论:
①当时,函数
的值域为
;
②对于任意的,均有
;
③对于任意的,函数
的最大值均为4.
其中所有正确的结论序号为__________.
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