Question

3．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{5}$，且焦距为10，过C的右焦点作x轴的垂线与C的两条渐近线交于点A，B，则△AOB（其中O为坐标原点）的面积为（　　）

• A． 25
• B． 50
• C． 75
• D． 100

Answer 1

分析 由题意可得c=5，运用离心率公式可得a=$\sqrt{5}$，可得b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，求出渐近线方程，将x=5代入求得A，B的坐标和距离，运用三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得2c=10，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
可得c=5，a=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
渐近线的方程为y=±$\frac{b}{a}$x，即为y=±2x，
由x=5，代入渐近线方程，可得y=±10，
可得|AB|=20，
△AOB的面积为S=$\frac{1}{2}$×5×20=50．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率和渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．