Question

13．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左．右焦点分别为F₁、F₂过点F₁并且垂直于x轴的直线为l．若过原点O和F₂并和直线l相切的圆的半径等于点F₂到双曲线C的两条渐近线的距离之和．则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{7}}{7}$

Answer 1

分析 由题意可得圆心的横坐标为$\frac{c}{2}$，由圆与直线l相切，可得圆的半径为$\frac{c}{2}$-（-c）=$\frac{3}{2}$c，求得双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得d=b，可得2b=$\frac{3}{2}$c，运用a，b，c的关系和离心率公式计算可得．

解答 解：由圆过原点O和F₂（c，0），可得圆心的横坐标为$\frac{c}{2}$，
直线l的方程为x=-c，由圆与直线l相切，
可得圆的半径为$\frac{c}{2}$-（-c）=$\frac{3}{2}$c，
由双曲线C的两条渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，
即有F₂到双曲线C的渐近线的距离为d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
由题意可得2b=$\frac{3}{2}$c，即为b²=$\frac{9}{16}$c²，
可得c²-a²═$\frac{9}{16}$c²，即c²=$\frac{16}{7}$a²，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程以及圆与直线相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．