Question

【题目】如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，∠MPN= ，记∠EPM=θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米．
（1）求S关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围：（参考数据：tan ≈3）
（2）求S的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△PME中，∠EPM=θ，PE=4m，∠PEM= ，∠PME= ，

由正弦定理可得PM= = ，

同理，在△PNE中，PN= ，

∴S△PMN= = = ，

M与E重合时，θ=0，N与D重合时，tan∠APD=3，即θ= ，

∴0≤θ≤ ，

综上所述，S△PMN= ，0≤θ≤ ；

（2）解：当2θ+ = 即 时，S取得最小值 =8（ ﹣1）平方米．
【解析】（1）利用正弦定理，求出PM，PN，即可求S关于θ的函数关系式，M与E重合时，θ=0，N与D重合时，tan∠APD=3，即θ= ，即可写出θ的取值范围；（2）当2θ+ = 即 时，S取得最小值．