Question

已知正数x、y、z满足x²+y²+z²=1，则S=

1+z

2xyz

的最小值为（　　）

• A、3
• B、

  3( 3 +1)

  2

• C、4
• D、2（

  2

  +1）

Answer 1

考点：基本不等式,二维形式的柯西不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由题意可得1-z²=x²+y²≥2xy，从而可得

1+z

2xy

≥

1

1-z

，由基本不等式和不等式的性质可得

1+z

2xyz

≥

1

(1-z)z

≥4

解答： 解：由题意可得0＜z＜1，0＜1-z＜1，
∴z（1-z）≤（

z+1-z

2

）²=

1

4

，
当且仅当z=（1-z）即z=

1

2

时取等号，
又∵x²+y²+z²=1，∴1-z²=x²+y²≥2xy，
当且仅当x=y时取等号，∴

1-z2

2xy

≥1，
∴

(1+z)(1-z)

2xy

≥1，∴

1+z

2xy

≥

1

1-z

，
∴

1+z

2xyz

≥

1

(1-z)z

≥4，
当且仅当x=y=

6

4

且z=

1

2

时取等号，
∴S=

1+z

2xyz

的最小值为4
故选：C

点评：本题考查基本不等式，涉及不等式的性质和配凑的方法，属中档题．