Question

5．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离与O到M的距离之和表示成x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]上的图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，点M到直线OP的距离与O到M的距离之和f（x）=sinxcosx+cosx=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx，求导分析函数的单调性，可得函数图象的大致形状，进而得到答案．

解答 解：∵圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，
角x的始边为射线OA，终边为射线OP，
过点P作直线OA的垂线，垂足为M，
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，
则点M到直线OP的距离与O到M的距离之和f（x）=sinxcosx+cosx=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx，
∵f′（x）=cos2x-sinx=-2sin²x-sinx+1=-2（sinx+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$，
故当sinx＜$\frac{1}{2}$，即x∈[0，$\frac{π}{6}$）时，f′（x）＞0，函数为增函数，
当sinx＞$\frac{1}{2}$，即x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]时，f′（x）＜0，函数为减函数，
同理，x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$）时，f′（x）＞0，函数为增函数，
x∈（$\frac{5π}{6}$，π]时，f′（x）＜0，函数为减函数，
故选：B

点评 本题考查的知识点是函数的图象，利用导数研究函数的单调性，难度中档．