Question

9．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，点B∈C，若$\overrightarrow{FA}=-3\overrightarrow{FB}$，则|FB|=（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{8}{3}$

Answer 1

分析 由题意可知丨DF丨=2，丨BF丨=丨BH丨，由丨FA丨=3丨FB丨，则cos∠HBA=$\frac{1}{4}$，即可求$\frac{丨DF丨}{丨AF丨}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，即可求得丨AF丨，求得|FB|．

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），过B作BH⊥准线l，
准线l与x轴交点为D，则丨DF丨=2，
∴丨BF丨=丨BH丨，
由$\overrightarrow{FA}=-3\overrightarrow{FB}$，则丨FA丨=3丨FB丨，
则丨AB丨=4丨FB丨=4丨BH丨，
则cos∠HBA=$\frac{1}{4}$，
由cos∠OFA=$\frac{丨DF丨}{丨AF丨}$=$\frac{1}{4}$，则丨AF丨=8，
∴丨FB丨=$\frac{8}{3}$，
故选D．

点评 本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题．