Question

3．设a，b∈（0，1）且a+b=1，用反证法证明（$\frac{1}{a^2}$-1）与（$\frac{1}{b^2}$-1）至少有一个不小于3．

Answer 1

分析 采用反证法，假设（$\frac{1}{a^2}$-1）与（$\frac{1}{b^2}$-1）都小于3，即$\frac{1}{a^2}$-1＜3，$\frac{1}{b^2}$-1＜3，推出矛盾来．

解答 证明：假设（$\frac{1}{a^2}$-1）与（$\frac{1}{b^2}$-1）都小于3，即0＜$\frac{1}{a^2}$-1＜3，0＜$\frac{1}{b^2}$-1＜3，
所以（$\frac{1}{a^2}$-1）（$\frac{1}{b^2}$-1）＜9，
因为a，b＞0，且a+b=1，
所以（$\frac{1}{a^2}$-1）（$\frac{1}{b^2}$-1）=$\frac{（1+a）（1-a）}{{a}^{2}}•\frac{（1+b）（1-b）}{{b}^{2}}$=$\frac{（1+a）b}{{a}^{2}}$•$\frac{（1+b）a}{{b}^{2}}$
=$\frac{1+a}{a}$•$\frac{1+b}{b}$=$\frac{1+a}{a}$•$\frac{2-a}{1-a}$＜9，
所以（2a-1）²＜0
这是不可能的．
故假设错误．故原结论成立．

点评 反证法，其特征是先假设命题的否定成立，推证出矛盾说明假设不成立，得出原命题成立．反证法一般适合用来证明正面证明较麻烦，而其对立面包含情况较少的情况．