Question

12．设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）都在函数f（x）=x+$\frac{{a}_{n}}{2x}$的图象上．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明；
（2）将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；
（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；
（a₂₁），（a₂₂，a₂₃），（a₂₄，a₂₅，a₂₆），（a₂₇，a₂₈，a₂₉，a₃₀）；…
分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₂₀₁₈-b₁₃₁₄的值．

Answer 1

分析 （1））得到数列递推式，代入计算可得结论，猜想a_n的表达式，再用数学归纳法证明，
（2）因为a_n=2n（n∈N^*），所以数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b₁₀₀是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20，同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20，利用等差数列的通项公式即可；

解答 解（1）∵点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在函数f（x）=x+$\frac{an}{2x}$的图象上，
∴$\frac{Sn}{n}$=n+$\frac{an}{2n}$，∴S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n．令n=1得，a₁=1+$\frac{1}{2}$a₁，∴a₁=2；
令n=2得，a₁+a₂=4+$\frac{1}{2}$a₂，∴a₂=4；令n=3得，a₁+a₂+a₃=9+$\frac{1}{2}$a₃，∴a₃=6．
由此猜想：a_n=2n，
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，由上面的求解知，猜想成立．
②假设n=k（k≥1）时猜想成立，即a_k=2k成立，
则当n=k+1时，注意到S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*），故S_k+1=（k+1）²+$\frac{1}{2}$a_k+1，S_k=k²+$\frac{1}{2}$a_k．
两式相减得，a_k+1=2k+1+$\frac{1}{2}$a_k+1-$\frac{1}{2}$a_k，所以a_k+1=4k+2-a_k．
由归纳假设得，a_k=2k，故a_k+1=4k+2-a_k=4k+2-2k=2（k+1）．
这说明n=k+1时，猜想也成立．
由①②知，对一切n∈N^*，a_n=2n成立，
（2）因为a_n=2n（n∈N^*），所以数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．
每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，
故b₂₀₁₈是第505组中第2个括号内各数之和，b₁₃₁₄是第329组中第2个括号内各数之和．
由分组规律知，各组第1个括号中所有数组成的数列是等差数列，且公差为20．
同理，由各组第2个括号中所有第1个数、所有第2个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．
故各组第2个括号中各数之和构成等差数列，且公差为40．记b₂，b₆，b_10，…b_4n+2，．．，为{d_n}，则d_n为等差数列且公差为40，
因为b₂₀₁₈=d₅₀₅，b₁₃₁₄=d₃₂₉，
所以b₂₀₁₈-b₁₃₁₄=（505-329）×40=7040．

点评 此题考查了利用数学归纳法求解并进行证明数列的通项公式，还考查了学生的理解题意综合能力，属于中档题