Question

3．若${（\sqrt{x}-\frac{1}{x}）^n}$的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=6，展开式中的常数项为15．（用数字作答）

Answer 1

分析 首先由二项式系数的性质列式求得n值，再写出二项展开式的通项并整理，由x得指数为0求得r值，则答案可求．

解答 解：由题意知：2ⁿ=64，即n=6；
则$（\sqrt{x}-\frac{1}{x}）^{n}=（\sqrt{x}-\frac{1}{x}）^{6}$，
由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}（\sqrt{x}）^{6-r}（-\frac{1}{x}）^{r}=（-1）^{r}{C}_{6}^{r}{x}^{3-\frac{3r}{2}}$．
令3-$\frac{3r}{2}=0$，得r=2．
∴展开式中的常数项为$（-1）^{2}{C}_{6}^{2}=15$．
故答案为：6；15．

点评 本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．