Question

已知函数f（x）=a^x-xlna，其中a∈（1，e]
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）求证：对?x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-2．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=a^x-xlna∴f'（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，∵a∈（1，e]∴lna＞0
f'（x）＞0可得x＞0
f'（x）=0可得x=0
f'（x）＜0可得x＜0
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[-1，0]单调递减，在[0，1]在单调递增∴当x=0时f（x）取得最小值f（x）_min=f（0）=1f（x）_max=max{f（1），f（-1）}…（6分）
又f(1)=a-lna，f(-1)=

1

a

+lnaf(1)-f(-1)=a-

1

a

-2lna
设g(a)=a-

1

a

-2lna，a∈[1，e]∵g′(a)=1+

1

a2

-

2

a

=(

1

a

-1)2＞0∴g（a）在[1，e]上单调递增．又g（1）=0，∴g（a）＞0，a∈[1，e]∴f（1）-f（-1）＞0，∴f（1）＞f（-1）∴在[-1，1]上，f（x）的最大值为f（1）=a-lna…（9分）∴对?x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（0）
又f（1）-f（0）=a-lna-1
即对?x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a-lna-1…（11分）
设h（a）=a-lna-1，a∈[1，e]则h′(a)=1-

1

a

＞0∴h（a）在（1，e]上单调递增，∴h（a）_max=h（e）=e-2∴a-lna-1≤e-2
综上所述，对?x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-2…（14分）