Question

已知函数f(x)＝·e^x－f(0)·x＋x²(e是自然对数的底数)．

(1)求函数f(x)的解析式和单调区间；

(2)若函数g(x)＝x²＋a与函数f(x)的图像在区间[－1,2]上恰有两个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：(1)由已知得f′(x)＝e^x－f(0)＋x，

令x＝1，得f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，

即f(0)＝1.又f(0)＝，所以f′(1)＝e.

从而f(x)＝e^x－x＋x².

显然f′(x)＝e^x－1＋x在R上单调递增且

f′(0)＝0，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；

当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.

∴f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，

单调递增区间是(0，＋∞)．

(2)由f(x)＝g(x)得a＝e^x－x.

令h(x)＝e^x－x，则h′(x)＝e^x－1.

由h′(x)＝0得x＝0.

所以当x∈(－1,0)时，h′(x)<0；

当x∈(0,2)时，h′(x)>0.

∴h(x)在(－1,0)上单调递减，

在(0,2)上单调递增．

又h(0)＝1，h(－1)＝1＋，h(2)＝e²－2

且h(－1)<h(2)．

∴两个图像恰有两个不同的交点时，

实数a的取值范围是.