Question

（本小题满分13分）已知函数.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）设函数，

（ⅰ）若函数有且仅有一个零点时，求的值；

（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若，，求的取值范围．

Answer 1

（1）;（2） （ⅰ）;（ⅱ）.

【解析】

试题分析： （1）对函数求导，求出，即可求出切线方程；

（2）（ⅰ）分离参数得，由函数的单调性可知，，可求得;（ⅱ）研究函数的单调性，求出函数在区间上的最大值即可.

试题解析：（1）当时，定义域，

，又

在处的切线方程 4分

（2）（ⅰ）令

则

即

令，

则

令

，

，在上是减函数

又

所以当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以当函数有且今有一个零点时， 9分

（ⅱ）当，，若只需证明

令得或

又，

函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

又 ，

即

13分

考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值、最值、函数零点.