Question

20．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，利用古典概型的概率求解即可；
（2）X的可能取值为：200，300，400；求出对应的概率，得到分布列，然后计算数学期望值．

解答 解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，
则P（A）=$\frac{{A}_{2}^{1}{•A}_{3}^{1}}{{A}_{5}^{2}}$=$\frac{2×3}{20}$=$\frac{3}{10}$；
（2）X的可能取值为200，300，400，
P（X=200）=$\frac{{A}_{2}^{2}}{{A}_{5}^{2}}$=$\frac{2}{20}$=$\frac{1}{10}$，
P（X=300）=$\frac{{A}_{3}^{3}{+C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{1}{•A}_{2}^{2}}{{A}_{5}^{3}}$=$\frac{6+2×3×2}{60}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=400）=1-P（X=200）-P（X=300）=1-$\frac{1}{10}$-$\frac{3}{10}$=$\frac{3}{5}$；
所以X的分布列为：

X	200	300	400
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$

数学期望为EX=200×$\frac{1}{10}$+300×$\frac{3}{10}$+400×$\frac{3}{5}$=350．

点评 本题考查了概率、随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．