Question

8．已知f（x）=|x-1|+|x+2|．
（1）解不等式f（x）≥5；
（2）若关于x的不等式f（x）＞a²-2a-5对任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据x≤-2，-2＜x＜1，x≥1，由此能求出f（x）≥5的解集．
（2）由|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，能求出f（x）的最小值为3，要使得关于x的不等式f（x）＞a²-2a-5对任意的x∈R恒成立，只需a²-2a-5＜3，由此能求出a的取值范围．

解答 解：（1）当x≤-2时，f（x）=-（x-1）-（x+2）=-2x-1≥5，
解得x≤-3，
当-2＜x＜1时，f（x）=-（x-1）+（x+2）=3≥5不成立，
当x≥1时，f（x）=（x-1）+x+2=2x+1≥5，
解得x≥2，
综上有f（x）≥5的解集是（-∞，-3][2，+∞）． …（6分）
（2）∵|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，
∴f（x）的最小值为3，
要使得关于x的不等式f（x）＞a²-2a-5对任意的x∈R恒成立，
只需a²-2a-5＜3，解得-2＜a＜4，
故a的取值范围是（-2，4）．…（12分）

点评 本题考查不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．