Question

19．已知f（x）=xlnx
（1）当x∈（0，e]（e是自然常数）时求f（x）的极小值；
（2）求f（x）在点（e，f（e））（e是自然常数）处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；（2）计算f′（e），f（e）的值，求出切线方程即可．

解答 解：（1）f（x）=lnx+1，当f′（x）＞0时，x＞$\frac{1}{e}$，
x，f′（x），f（x）的变化如下：

x	（0，$\frac{1}{e}$）	$\frac{1}{e}$	（$\frac{1}{e}$，+∞）
f′（x）	负	0	正
f（x）	减	极小	增

所以当x=$\frac{1}{e}$时f（x）取得极小值-$\frac{1}{e}$；
（2）由f′（e）=2，f（e）=e，
得：y-e=2（x-e），
整理切线方程为：y=2x-e．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用求函数的切线方程问题，是一道中档题．