Question

11．已知$\overrightarrow a$=（2sinx，cos²x），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$cosx，2），f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$．根据向量的数量积的运用可得f（x）的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：$\overrightarrow a$=（2sinx，cos²x），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$cosx，2），
由f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1
（1）∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
由2k$π+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：k$π+\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}+kπ$
∴f（x）的单调递减区间为[：k$π+\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}+kπ$]，k∈Z．
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]上时，
可得：2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，函数f（x）取得最小值为2sin$\frac{7π}{6}$+1=0．
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值为2sin$\frac{π}{2}$+1=3．
故得函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值3，最小值0．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．