Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1) 求出，并猜测的表达式；
(2) 求证：＋＋＋…＋．

Answer 1

(1) f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，f(5)＝25＋4×4＝41. f(n)＝2n²－2n＋1.
(2)略

本试题主要是考查了数列的归纳猜想思想的运用，根据前几项。来猜想并运用数学归纳法加以证明。
（1）结合题目中的 递推关系式可知前几项的值，并猜想结论。
（2）分为两步骤进行，先证明n取第一个值时成立，再假设n=k时成立，证明n=k+1时也成立即可。
解析：(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，
∴f(5)＝25＋4×4＝41.
(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，
f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，…
f(2)－f(1)＝4×1，∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n²－2n＋1(n≥2)，又n＝1时，f(1)也适合f(n)．∴f(n)＝2n²－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝，
∴＋＋＋…＋＝1＋
＝1＋＝－.