Question

设函数f（x）=x-

1

x

，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-1，1）
• B、（1，+∞）
• C、（-∞，-1）
• D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：显然m≠0，分当m＞0与当m＜0两种情况进行讨论，并进行变量分离即可得出答案．

解答： 解：∵f（x）=x-

1

x

，
∴函数的定义域为{x|x≠0}，
∵任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，
∴m≠0且mx-

1

mx

+mx-

m

x

＜0，
即2mx＜（m+

1

m

）•

1

x

，
∴2mx²＜m+

1

m

恒成立，
①当m＞0时，不等式等价为2x2＜1+

1

m2

，
∵y=2x²在x∈[1，+∞）上无最大值，因此此时不合题意；
②当m＜0时，不等式等价为2x2＞1+

1

m2

，
此时函数y=2x²在x∈[1，+∞）上的最小值为2，
∴要使不等式恒成立，则2＞1+

1

m2

，
即m²＞1，
解得m＜-1或m＞1（舍去）．
综合可得：m＜-1．
故选：C．

点评：本题主要考查了不等式恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，利用分离变量法将不等式恒成立转化为函数最值的方法是解决此类问题的基本方法．