Question

2．已知xy＞0，若x²+4y²＞（m²+3m）xy恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-4]∪[-1，+∞）
• B． （-∞，-1]∪[4，+∞）
• C． （-4，1）
• D． （-1，4）

Answer 1

分析 xy＞0，x²+4y²＞（m²+3m）xy，转化表达式，利用基本不等式的性质求出表达式的最小值，然后求解不等式即可得出．

解答 解：∵xy＞0，x²+4y²＞（m²+3m）xy，∴m²+3m＜$\frac{{x}^{2}+4{y}^{2}}{xy}$，
∵$\frac{{x}^{2}+4{y}^{2}}{xy}$≥$\frac{4xy}{xy}$=4，当且仅当x=2y＞0时取等号．
∴m²+3m＜4，解得-4＜m＜1．
∴实数m的取值范围是-4＜m＜1．
故选：C．

点评 本题考查函数恒成立，基本不等式的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．