Question

10．直线l₁，l₂分别是函数f（x）=sinx，x∈[0，π]图象上点P₁，P₂处的切线，l₁，l₂垂直相交于点P，且l₁，l₂分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积为$\frac{{π}^{2}}{4}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，设P₁（x₁，sinx₁），P₂（x₂，sinx₂），（设x₁＜x₂），可得切线的斜率，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，由余弦函数的值域，求得两切点，可得切线的方程，求出A，B，P的坐标，即可得到所求三角形的面积．

解答 解：函数f（x）=sinx的导数为f′（x）=cosx，
设P₁（x₁，sinx₁），P₂（x₂，sinx₂），（设x₁＜x₂），
可得图象上点P₁，P₂处的切线斜率为cosx₁，cosx₂，
由l₁，l₂垂直，可得cosx₁cosx₂=-1，
由余弦函数的值域，可得cosx₁=1，cosx₂=-1，
即有x₁=0，x₂=π，
可得切线l₁的方程为y=x，
l₂的方程为y-0=-（x-π），即y=-x+π，
解得P（$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
由A（0，0），B（0，π），
可得△PAB的面积为$\frac{1}{2}$×π×$\frac{π}{2}$=$\frac{{π}^{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{{π}^{2}}{4}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查两直线垂直的条件和余弦函数的值域，考查三角形的面积的求法，以及运算能力，属于中档题．