Question

5．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，已知第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为$\frac{6}{7}$，$\frac{5}{6}$，$\frac{14}{15}$，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．
（1）求审核过程中只进行两道程序就停止审核的概率；
（2）现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）记审核过程中只进行两道程序就停止审核为事件A，利用相互独立事件概率乘法公式能求出事件A发生的概率．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，一部手机通过三道审核可以出厂的概率为$\frac{2}{3}$，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 （12分）
解：（1）记审核过程中只进行两道程序就停止审核为事件A，
事件A发生的概率$P（A）=\frac{6}{7}×（1-\frac{5}{6}）=\frac{1}{7}$．（4分）
（2）X的可能取值为0，1，2，3．
一部手机通过三道审核可以出厂的概率为$\frac{6}{7}×\frac{5}{6}×\frac{14}{15}=\frac{2}{3}$，（6分）
$P（X=0）=C_3^0{（1-\frac{2}{3}）^3}=\frac{1}{27}$，
$P（X=1）=C_3^1{（1-\frac{2}{3}）^2}×\frac{2}{3}=\frac{6}{27}$，
$P（X=2）=C_3^2{（1-\frac{2}{3}）^1}×{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{12}{27}$，
$P（X=3）=C_3^3{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{8}{27}$

（10分）
数学期望$E（X）=\frac{1×6+2×12+3×8}{27}=2$．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、离散型随机事件概率分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．