练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    18．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+t}\\{y=3+2t}\end{array}}\right.（t$为参数），以原点o为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{3}cosθ$．
    （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
    （2）设直线l与曲线C交于点A，B，若点P的坐标为$P（\sqrt{3}，3）$，求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

    分析 （1）直线l的参数方程消去t，能求出直线l的普通方程，由曲线C的极坐标方程能求出圆C的直角坐标方程．
    （2）把直线l的参数方程代入${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=3$中，得5t2+12t+6=0，由此利用韦达定理能求出$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

    解答 解：（1）∵直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+t}\\{y=3+2t}\end{array}}\right.（t$为参数），
    ∴消去t，得直线l的普通方程为：$y=2x+3-2\sqrt{3}$，
    ∵曲线C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{3}cosθ，{ρ^2}=2\sqrt{3}ρcosθ$，
    ∴${x^2}+{y^2}=2\sqrt{3}x$，
    ∴圆C的直角坐标方程为${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=3$．
    （2）把直线l的参数方程代入${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=3$中，
    整理，得5t2+12t+6=0
    设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
    ∵△＞0，∴${t_1}+{t_2}=-\frac{12}{5}，{t_1}{t_2}=\frac{6}{5}（{t_1}，{t_2}$同号）
    ∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{1}{{\sqrt{5}|{t_1}|}}+\frac{1}{{\sqrt{5}|{t_2}|}}=\frac{{|{{t_1}+{t_2}}|}}{{\sqrt{5}|{{t_1}{t_2}}|}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

    点评 本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查两线段倒数和的求法，考查参数方程、直角坐标方程的互化、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    5．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，已知第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为$\frac{6}{7}$，$\frac{5}{6}$，$\frac{14}{15}$，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．
    （1）求审核过程中只进行两道程序就停止审核的概率；
    （2）现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    9．已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，直线l过定点A（1，0）．
    （1）若l与圆C相切，求l的方程．
    （2）若l与圆C相交于P、Q两点，若$|PQ|=2\sqrt{2}$，求此时直线l的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    6．在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到定点F（1，0）的距离与到定直线x=3的距离之比为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
    （1）求动点M的轨迹C的方程；
    （2）已知P为定直线x=3上一点．
    ①过点F作FP的垂线交轨迹C于点G（G不在y轴上），求证：直线PG与OG的斜率之积是定值；
    ②若点P的坐标为（3，3），过点P作动直线l交轨迹C于不同两点R、T，线段RT上的点H满足$\frac{PR}{PT}=\frac{RH}{HT}$，求证：点H恒在一条定直线上．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    13．已知函数f（x）=x2+2ax+c
    （1）若f（x）=f（-2-x），f（0）=-4．求f（x）在[3，+∞）上的最小值：
    （2）若对于任意x∈[1，1+a]，f（x）＞$\frac{9}{4}$x-a2+c恒成立．求实数a的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    3．在平面直角系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标为ρ=2cosθ，且直线$l：\left\{\begin{array}{l}x=m+3t\\ y=4t\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C交于不同两点A，B．
    （1）求实数m的取值范围；
    （2）设点M（m，0），若|MA|•|MB|=1，求实数m的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    10．已知${（x+\frac{1}{2x}）^5}$的展开式中，x3项的系数是a，则$\int{\begin{array}{l}a\\ 1\end{array}}\frac{1}{x}dx$=$\frac{5}{2}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    7．某土特产销售总公司为了解其经营状况，调查了其下属各分公司月销售额和利润，得到数据如下表：
    分公司名称 雅雨 雅雨 雅女 雅竹 雅茶
     月销售额x（万元） 3 5 6 7 9
     月利润y（万元） 2 3 3 45
    在统计中发现月销售额x和月利润额y具有线性相关关系．
    （Ⅰ）根据如下的参考公式与参考数据，求月利润y与月销售额x之间的线性回归方程；
    （Ⅱ）若该总公司还有一个分公司“雅果”月销售额为10万元，试求估计它的月利润额是多少？（参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overrightarrow{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overrightarrow{y}$-$\widehat{b}$$\overrightarrow{x}$，其中：$\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}$=112，$\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}$=200）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    8．椭圆x2+my2=1的长轴长为4，则其焦点坐标为（　　）
    A．（±3，0）B．（±1，0）C．（0，±1）D．（0，±$\sqrt{3}$）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案